УГЛЫ  ТРЕУГОЛЬНИКА

  В треугольнике ABC (рис. 1) продолжим одну из его сторон, например AC, и рассмотрим угол BCD смежный с углом C данного треугольника. Такой угол называют внешним углом треугольника, а углы самого треугольника иногда называют внутренними углами треугольника.

При каждой вершине треугольника, продолжая стороны треугольника мож­но построить по два внешних угла. Эти два угла равны, как вертикальные.

Теорема. Внешний угол произвольного треугольника больше каждого его внутреннего угла, не смежного с ним.

Доказательство. Пусть АВС – произвольный треугольник. Рассмотрим, например, внешний угол ВСD и докажем, что он больше внутреннего угла АВС (рис. 2). Для этого через вершину А и середину Е стороны ВС проведем прямую и отложим на ней отрезок EF, равный АЕ. Треугольники АВЕ и FCЕ равны по первому признаку равенства треугольников (ВЕ = СE, AE = FE, ÐAEB = ÐFEC). Следовательно, ÐABC = ÐBCF. Но вершина F лежит внутри угла BCD. Поэтому угол BCF составляет только часть угла BCD. Значит, ÐBCD > ÐABC. Аналогично доказывается, что ÐBCD > ÐBAC (сделайте это самостоятельно).

Следствие 1. В треугольнике может быть только один тупой или прямой угол.

Доказательство. Пусть в треугольнике ABC угол C тупой или прямой. Тогда смежный с ним внешний угол будет острым или прямым соответственно. По доказанной теореме он больше внутренних углов A и B. Следовательно, углы A и B тоже острые.

Теорема. (Соотношение между сторонами и углами треугольника.) В произвольном треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство. Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше сторо­ны АС. Докажем, что угол С больше угла В. Для этого отложим на луче АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 3). Треугольник АСD - равнобед­ренный. Следовательно, Ð1 = Ð2. Угол 1 составляет часть угла С. Поэто­му Ð1 < ÐC. С другой стороны, угол 2 является внешним углом треуголь­ника ВСD. Поэтому Ð2 > ÐB. Следовательно, имеем ÐC > Ð1 = Ð2 > ÐB.

Следствие. В произвольном треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство. Пусть в треугольнике АВС угол С больше угла В (рис. 4). Стороны АВ и АС не могут быть равны, так как в этом случае треугольник АВС был бы равно­бедренным и, следовательно, угол С равнялся бы углу В. Сторона АВ не может быть меньше стороны АС, так как в этом случае, по доказанному, угол С был бы меньше угла В. Остается только, что сторона АВ больше стороны АС.

Пример 1. Пусть в треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC. Докажите, что: а) если CD – медиана, то ÐACD  < ÐBCD; б) если CD – биссектриса, то AD > BD.

         Решение. Рассмотрим случай а). Продолжим медиану CD и отложим отрезок DE, равный CD (рис. 5). Треугольник ADE равен треугольнику BDC по двум сторонам и углу между ними. Поэтому BC = AE и ÐAED = ÐBCD. В треугольнике ACE AC > AE. Следовательно, ÐAEC > ÐACE. Таким образом, ÐACD  < ÐBCD.

         Случай б) рассмотрите самостоятельно.

Теорема. (Признак параллельности двух прямых.) Если при пересече­нии двух прямых третьей прямой, внутренние накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.

Доказательство. Пусть прямые a и b пересекаются прямой с в точках А и В соответственно и образуют равные внутренние накрест лежащие углы. Предположим, что прямые a и b не параллельны. Тогда они пересекутся в некоторой точке С (рис. 6). Для треугольника АВС угол 5 является внешним и, следовательно, должен быть больше внутреннего угла 3, что противоречит условию равенства этих углов. Значит, прямые  а и b не могут пересекать­ся, т.е. они параллельны.

Основное свойство (аксиома) параллельных прямых состоит в следую­щем.

Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.

Из сказанного выше следует, что через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Поэ­тому справедлива следующая теорема, обратная к признаку параллельнос­ти двух прямых.

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Доказательство. Пусть а и b – параллельные прямые, пересеченные прямой с в точках А и B соответственно. Проведем через точку А прямую а1 так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные прямыми а1, b и секущей с были равны. Тогда по признаку параллельности прямые а1 и b параллельны. А так как через точку А проходит единственная пря­мая, параллельная b, то прямая а совпадет с прямой а1. Значит, внут­ренние накрест лежащие углы, образованные прямыми а, b и секущей с, равны.

Теорема. Сумма углов произвольного треугольника равна 180°.

Доказательство. Для произвольного треугольника АВС через вершину С проведем прямую, параллельную АВ (рис. 7). Тогда Ð1 = Ð4, Ð2 = Ð5, как внутренние накрест лежащие углы.  Следовательно, Ð1 + Ð2 + Ð3 = Ð4 + Ð5 + Ð3 = 180°.

Следствие 1. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутрен­них, не смежных с ним.

Доказательство. Обозначим внутренние углы треугольника ABC цифрами 1, 2 и 3 (рис. 8). Пусть 4 – внешний угол, не смежный с углами 1 и 3. Тогда Ð1 + Ð2 + Ð3 = 180° и Ð4 = 180° –Ð2 = Ð1 + Ð3.

Исторические сведения

Вопрос о количестве прямых, проходящих через данную точку и па­раллельных данной прямой, имеет давнюю и интересную историю. Среди ак­сиом в "Началах" Евклида пятый по счету постулат по своему содержанию совпадает с аксиомой параллельности: "Через точку, взятую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной этой пря­мой".

На протяжении двух тысячелетий после Евклида математики пытались доказать этот постулат, однако все их попытки заканчивались неудачей, рано или поздно в их рассуждениях обнаруживались ошибки. Лишь в 1826 году великий русский геометр Н.И. Лобачевский (1792-1856), профессор Казанского университета, предположил, что этот постулат нельзя логически вывести из других постулатов (аксиом) Евклида, т.е. нельзя доказать. Поэтому его можно взять или в качестве аксиомы, или в качестве аксиомы может быть взято другое свойство о существовании нескольких прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной прямой. Положив в основу геометрии эту новую аксиому параллельности, Лобачевский создал совершенно новую – неевклидову геометрию, которая была названа геометри­ей Лобачевского.

Идеи Лобачевского были настолько оригинальны и настолько противо­речили так называемому здравому смыслу, что их не поняли даже крупные математики того времени. Несмотря на это, Лобачевский не отказался от своих идей. Он не только был убежден в логической непротиворечивости новой геометрии, но и твердо верил в ее применимость к исследованию реального пространства. С этой целью он проводил сложнейшие астрономи­ческие наблюдения и измерения, однако недостаточная точность измери­тельных приборов не позволила ему подтвердить свою гипотезу.

Признание геометрии Лобачевского пришло только после его смерти. Работы Лобачевского были переведены на другие языки и изучались мате­матиками всего мира. В настоящее время геометрия Лобачевского является неотъемлемой частью современной математики и находит применение во многих областях человеческого знания, способствует более глубокому по­ниманию окружающего нас мира.

 

Задачи

1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен 100°.

2. В треугольнике АВС угол В равен 70°.  Из вершины угла А прове­дена высота АD. Найдите углы образовавшегося треугольника ABD.

3. В треугольнике АВС угол А равен 65°, угол В равен 73°. Найдите углы, которые образует высота треугольника, проведенная из вершины С, со сторонами АС и ВС.

4. На рисунке 9 отрезки ЕС и BD пересекаются в точке А, ÐC = ÐD. Докажите, что ÐB = ÐE.

5. В треугольнике АВС (рис. 10) проведен отрезок MN таким образом, что Ð1 = Ð2. Докажите, что Ð3 = Ð4.

6. В треугольнике АВС угол А равен 48°, угол В равен 56°. На продолжении стороны АС отложены отрезки СЕ = ВС и AD = AB (рис. 11). Найдите углы треугольника DEB.

7. По углам a и b при основании треугольника (a < b) определите угол между высотой и биссектрисой угла при вершине, противолежащей основанию.

8. По углам a и b прямоугольного треугольника (a < b) определите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла.

9. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла.

10. В равнобедренном треугольнике ABC с боковыми сторонами AB=BC, ÐABC = 80°. Внутри треугольника взята точка O так, что ÐOAC = 10°, а ÐOCA = 30°. Найдите ÐAOB.

 

 

Hosted by uCoz